1) Счёт-фактура — женского рода. Склоняется только фактура. Примеры: новая счёт-фактура, в исправленной счёт-фактуре (Lingvo).
2) Счёт-фактура — мужского рода. Склоняются обе части. Примеры: новый счёт-фактура, в исправленном счёте-фактуре (Грамота)*.
_______
* Синий текст добавлен позже, после комментария коллеги. В чём разница? Думаю, в обиходе «счёт» чаще всего не склоняют для экономии произносительных усилий. Тогда и род счёт-фактуры женский (по склоняемому элементу). Но, по сути, оба элемента равносильны, тогда склоняются оба элемента. Грамота и В. В. Лопатин за мужской род.
Михаил, как быть с Грамотой и Лопатиным?
Спасибо за ссылки, Олег! Посмотрю и исправлю заметку при необходимости!
Я всегда использовал второй вариант.
Проверочное слово — ракета-носитель. 😉 С ним тоже беда у всех. В косвенных падежах обычно просто забывают о дефисе и там уже не поймешь, кто носитель, а где ракета.
А по поводу несклоняемости первой части я точно знаю, что она не склоняется в фамилии Кац-Неленбоген.